Download PDF by Gernot Stroth: Algebra: Einfuhrung in die Galoistheorie

By Gernot Stroth

ISBN-10: 3110290707

ISBN-13: 9783110290707

Dieses Lehrbuchbietet eine Einfuhrung in die grundlegenden Methoden der Galoistheorie. Am Beispiel der Auflosbarkeit von Polynomgleichungen durch Radikale wird das Zusammenwirken dreier Theorien - Gruppentheorie, Korpertheorie und Ringtheorie - zur Losung dieses difficulties demonstriert. Behandelt werden neben den ublichen Grundbegriffen wie Gruppen, Korper und Ringe sowie den Resultaten der Galoistheorie auch Anwendungen auf Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, endliche Korper und Kreisteilungskorper sowieAuflosungsformeln der Gleichungen vom Grad hochstens four. Daruber hinaus wird der konkreten Berechenbarkeit und den Algorithmen zur Bestimmung irreduzibler Teiler von Polynomen bzw. der Galoisgruppe eines moderaten Polynoms ein breiter Raum gewidmet.

Die vorliegende zweite Auflage enthalt Erweiterungen zu den Themen rein inseparable Korpererweiterungen, p-adische Zahlen und Bewertungstheorie, angeordnete Korper undSatz von Sturm.

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Seien k1 , und k2 Körper und σ : k1 → k2 ein Isomorphismus. Seien weiter n m1 = i=0 ai x i ∈ k1 [x], m2 = σ (m1 ) ∈ k2 [x] und Ki Zerfällungskörper von mi über ki , i = 1, 2. Dann kann σ zu einem Isomorphismus Θ : K1 → K2 erweitert werden. Beweis. Wir beweisen den Satz durch Induktion nach n = grad m1 . Sei p = ti=0 bi x i ein irreduzibler Teiler von m1 über k1 . Wir setzen q = ti=0 σ (bi )x i . Dann teilt q das Polynom m2 . Seien a1 eine Nullstelle von p und a2 eine von q. 11 gibt es eine Fortsetzung τ von σ auf k1 (a1 ) mit τ : k1 (a1 ) → k2 (a2 ) und τ(a1 ) = a2 .

An paarweise verschiedene Nullstellen von f in K . Dann gibt es ein g ∈ K[x] mit n f = (x − ai )g. i=1 Insbesondere ist n ≤ grad f . Beweis. Wir beweisen die Behauptung durch Induktion nach n. Für n = 1 steht dies ˜ mit g ˜ ∈ K[x]. 37. Seien also n > 1 und f = n−1 i=1 (x − ai )g n−1 0 = f (an ) = ˜ n ). (an − ai ) g(a i=1 Da die a1 , . . , an paarweise verschieden sind, folgt n−1 (an − ai ) ≠ 0. i=1 ˜ n ) = 0. 37 ist dann Also ist g(a ˜ = (x − an )g. g Somit ist f = n i=1 (x − ai )g . Ringe 23 Bisher haben wir uns hauptsächlich mit K[x] beschäftigt, wobei K ein Körper war.

Wir dividieren ae − 19bd durch c mit Rest, also ae − 19bd = cq + r . 18 Ringe Wir können die Division so ausführen, dass |r | ≤ u = e + d −19 und c 2 ist. Wir setzen nun v = q − f −19. Dann ist x u − v = (a + b −19)(e + d −19)/c − (q − f −19) y = (ae − 19bd − qc)/c + (ad + be + cf ) −19/c = (r − −19)/c und N((r + −19)/c) = (r 2 + 19)/c 2 . Ist c > 5, so ist (r 2 + 19)/c 2 ≤ 19 7 c2 1 + 19 /c 2 ≤ + = < 1. 4 4 36 9 Ist c = 5, so ist |r | ≤ 2 und dann (r 2 + 19)/c 2 ≤ (4 + 19)/25 < 1. Wir haben somit mit R−19 einen Hauptidealring, der kein euklidischer Ring ist.

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Algebra: Einfuhrung in die Galoistheorie by Gernot Stroth


by David
4.1

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